This work investigates whether there are harmonic sets which are universally prioritized when fitting the chromatic just scale with equal-tempered tunings. We design a method to find which temperaments properly and non-ambiguously fit a set of pure intervals and show that: (a) Within range N ∈ [9, 54], temperaments with 12, 19, 22, 24, 31, 34, 41 and 53 divisions are suitable for adjusting the twelve-tone chromatic just scale – in particular, 53 divisions provide the most accurate fit, (b) For M-element subsets of the chromatic universe with M ∈ [3, 7], these solutions are always more faithfully reproduced when the target set is a major scale rather than a minor one, and (c) Sequences of notes uniformly distributed over the octave are disadvantageous references for finding suitable temperaments numerically. The latter observation suggests a mathematical background for understanding the preference for non-uniform scales in world music revealed by recent studies in ethnomusicology.
Este trabalho investiga se existem conjuntos harmônicos que são universalmente priorizados ao se ajustar a escala cromática pura com uma afinação igualmente temperada. Nós criamos um método para encontrar quais temperamentos ajustam de forma não-ambígua um conjunto de intervalos puros e mostramos que: (a) No intervalo N ∈ [9, 54] temperamentos com 12, 19, 22, 24, 31, 41 e 53 divisões são os adequados para ajustar a escala cromática pura de 12 notas – em particular, 53 divisões proporcionam o ajuste mais preciso, (b) Para subconjuntos com M ∈ [3, 7] notas, essas soluções são sempre mais fielmente reproduzidas por escalas maiores, em comparação com as menores, e (c) Sequências de notas uniformemente distribuídas pela oitava são referências desvantajosas para a busca numérica de bons temperamentos. A última observação sugere um contexto matemático para entender a preferência por escalas não-uniformes na música mundial revelada por estudos recentes em etnomusicologia.